La Paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles y la Tortuga

Aproximadamente entre el 490 a.C. y el 485 a.C. nació en Grecia un filósofo llamado Zenón de Elea, discípulo de Parménides y seguidor de la corriente pitagórica. Sostenía que el movimiento era una mera ilusión y para ilustrarlo elaboró cerca de 40 paradojas, algunas de las cuales siguen siendo todo un reto para los filósofos y matemáticos. Con ellas intentaba probar que el espacio no está conformado por elementos separados, por lo que el movimiento no debía existir. Sus dos paradojas más conocidas son la del movimiento de la flecha y la de «Aquiles y la tortuga«.

Su trabajo fue el inicio de lo que conocemos como «cálculo infinitesimal«, idea que se desarrolló plenamente dos milenios después gracias a los trabajos de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, e irónicamente fue esta falta de conocimiento de lo infinitesimal lo que llevó a que sus paradojas no pudiesen ser resueltas en su época, dando resultados falsos o sofismas.

Quizá el mejor ejemplo de todo esto sea su paradoja de Aquiles y la tortuga, en la que se nos narra como ambos deciden competir en una carrera. Aquiles en su benevolencia le deja a la tortuga algo de ventaja, y es esta diferencia inicial la que impedirá al héroe ganar la carrera, haga lo que haga. Veamos como funciona esto…

Si la distancia total a recorrer son 100 metros y Aquiles le da a la tortuga una ventaja de 50 metros, cuando el héroe  recorre la distancia de la ventaja la tortuga ya no está ahí, sino que ha recorrido unos 20 cm. Cuando Aquiles vuelve a recorrer esta distancia, la tortuga ha recorrido otros 10 cm, repitiéndose esta situación hasta el infinito y con una distancia cada vez menor entre ambos.

Para todos nosotros resulta lógico que esta paradoja no es correcta, pero curiosamente es muy complejo matemáticamente hablando el hallar dónde está el error, y estaba en la suma de infinitos números. Fue el matemático James Gregory (siglo XVII) quien probó que la suma de infinitos números puede dar lugar a un resultado finito, con lo que se puede determinar el punto en el que Aquiles alcanza a la tortuga y la rebasa.

Una manera alternativa de resolver esta paradoja es olvidar el enfoque infinitesimal y atribuir a Aquiles una distancia de zancada concreto. Independientemente de como se mueva la tortuga, las zancadas del héroe serán siempre iguales, recorriendo una mayor distancia en un tiempo menor. Esto demuestra la existencia del movimiento, idea contraria a los razonamientos de Zenón, que tuvieron que esperar casi dos mil años para ser rebatidas.

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